5. Решите уравнение: a) \(\frac{6x + 1}{5} - \frac{3x - 8}{4} = 1\); б) \(4x^2 + 5x = 0\)

Задание 5. Решение уравнений

а) \(\frac{6x + 1}{5} - \frac{3x - 8}{4} = 1\)

Решим это дробно-рациональное уравнение.

1. Наименьший общий знаменатель для 5 и 4 равен 20. Умножим обе части уравнения на 20: \[ 20 \cdot \frac{6x + 1}{5} - 20 \cdot \frac{3x - 8}{4} = 20 \cdot 1 \]
2. Сократим дроби: \[ 4(6x + 1) - 5(3x - 8) = 20 \]
3. Раскроем скобки: \[ (24x + 4) - (15x - 40) = 20 \]
4. Обращаем внимание на знак минус перед второй скобкой, он меняет знаки внутри: \[ 24x + 4 - 15x + 40 = 20 \]
5. Приведём подобные слагаемые: \((24x - 15x) + (4 + 40) = 20\)
6. \(9x + 44 = 20\)
7. Перенесём 44 в правую часть: \[ 9x = 20 - 44 \]
8. \(9x = -24\)
9. Разделим обе части на 9: \[ x = \frac{-24}{9} \]
10. Сократим дробь на 3: \[ x = -\frac{8}{3} \]

б) \(4x^2 + 5x = 0\)

Это квадратное уравнение, которое можно решить вынесением общего множителя за скобки.

1. Общий множитель — \(x\). Вынесем его: \[ x(4x + 5) = 0 \]
2. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
3. Первый случай: \(x = 0\)
4. Второй случай: \(4x + 5 = 0\)
5. Решим второе линейное уравнение: \[ 4x = -5 \]
6. \(x = -\frac{5}{4}\)

Ответ: а) \(x = -\frac{8}{3}\); б) \(x = 0\) и \(x = -\frac{5}{4}\)