5. Решите систему уравнений: (3x - 2y = 8 (5x + 3y = 7

Задание 5. Решение системы линейных уравнений методом подстановки

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} 3x - 2y = 8 \quad (1) \\ 5x + 3y = 7 \quad (2) \end{cases} \]

Решение:

Чтобы решить эту систему, мы можем использовать метод подстановки или метод сложения. Давайте применим метод сложения, предварительно умножив уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.

Умножим первое уравнение на 3, а второе — на 2, чтобы избавиться от y:

1. Умножаем уравнение (1) на 3: \( 3 \cdot (3x - 2y) = 3 \cdot 8 \)
2. Получаем: \( 9x - 6y = 24 \quad (1') \)
3. Умножаем уравнение (2) на 2: \( 2 \cdot (5x + 3y) = 2 \cdot 7 \)
4. Получаем: \( 10x + 6y = 14 \quad (2') \)

Теперь сложим уравнения (1') и (2'):

\[ (9x - 6y) + (10x + 6y) = 24 + 14 \]

\[ 9x - 6y + 10x + 6y = 38 \]

\[ 19x = 38 \]

Найдем x:

\[ x = \frac{38}{19} \]

\[ x = 2 \]

Теперь подставим найденное значение x = 2 в одно из исходных уравнений, например, в (1): \( 3x - 2y = 8 \).

1. Подставим x: \( 3 \cdot 2 - 2y = 8 \)
2. Упростим: \( 6 - 2y = 8 \)
3. Вычтем 6 из обеих частей: \( -2y = 8 - 6 \)
4. Получим: \( -2y = 2 \)
5. Разделим обе части на -2: \[ y = \frac{2}{-2} \]
6. Получим: \[ y = -1 \]

Ответ: x = 2, y = -1.