5. Решите систему неравенств $$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \le 0 \\ 2x - 5 \le 0 \end{cases}$$

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство: $$x^2 - 5x + 6 \le 0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена $$x^2 - 5x + 6 = 0$$. Используем дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена ветвями вверх. Неравенство $$x^2 - 5x + 6 \le 0$$ выполняется при $$x \in [2; 3]$$.

Второе неравенство: $$2x - 5 \le 0$$

Решим линейное неравенство:

\[ 2x \le 5 \]

\[ x \le \frac{5}{2} \]

\[ x \le 2.5 \]

Теперь найдём пересечение решений обоих неравенств.

Первое неравенство: $$x \in [2; 3]$$.

Второе неравенство: $$x \in (-\infty; 2.5]$$.

Пересечение интервалов $$[2; 3]$$ и $$(-\infty; 2.5]$$ будет $$[2; 2.5]$$.

Ответ: $$x \in [2; 2.5]$$.