5. Решить уравнение: 2cos^2 x - sin(x+π) - 1 = 0.

Решение:

Воспользуемся формулой синуса суммы: \( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \).

\( \sin(x+\pi) = \sin x \cos\pi + \cos x \sin\pi \).

Так как \( \cos\pi = -1 \) и \( \sin\pi = 0 \), то \( \sin(x+\pi) = \sin x \cdot (-1) + \cos x \cdot 0 = -\sin x \).

Подставим это в исходное уравнение:

\[ 2\cos^2 x - (-\sin x) - 1 = 0 \]

\[ 2\cos^2 x + \sin x - 1 = 0 \]

Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \):

\[ 2(1 - \sin^2 x) + \sin x - 1 = 0 \]

\[ 2 - 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \]

\[ -2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда получим квадратное уравнение:

\[ 2t^2 - t - 1 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \]

Корни уравнения:

\[ t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \sin x \):

1) \( \sin x = 1 \)

\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

2) \( \sin x = -\frac{1}{2} \)

\( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

или \( x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi m = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi m = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m, \quad k, n, m \in \mathbb{Z} \)