4. Вычислить: log_2,5 6 · log₆ 0,4.

Решение:

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \). В данном случае удобно перейти к натуральному логарифму (основание \( e \)) или десятичному (основание 10).

\( \log_{2,5} 6 = \frac{\log 6}{\log 2,5} \)

\( \log_6 0,4 = \frac{\log 0,4}{\log 6} \)

Теперь перемножим эти выражения:

\[ \log_{2,5} 6 \cdot \log_6 0,4 = \frac{\log 6}{\log 2,5} \cdot \frac{\log 0,4}{\log 6} \]

Сократим \( \log 6 \):

\[ \frac{\log 0,4}{\log 2,5} \]

Теперь преобразуем \( 0,4 \) в дробь: \( 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \). А \( 2,5 \) в дробь: \( 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} \).

Получим:

\[ \frac{\log \frac{2}{5}}{\log \frac{5}{2}} \]

Используя свойство логарифма \( \log \frac{a}{b} = -\log \frac{b}{a} \):

\[ \log \frac{2}{5} = -\log \frac{5}{2} \]

Тогда выражение станет:

\[ \frac{-\log \frac{5}{2}}{\log \frac{5}{2}} = -1 \]

Ответ: -1