5*. Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 4 см вписан в окружность. Найдите площадь квадрата, описанного около этой окружности.

Решение:

1. Дано: Равнобедренный прямоугольный треугольник вписан в окружность. Катет \( a = 4 \) см.

Найти: Площадь \( S_{квадрата} \) квадрата, описанного около окружности.

Решение:

1. Пусть равнобедренный прямоугольный треугольник ABC имеет прямой угол C. Тогда катеты равны: \( AC = BC = 4 \) см.
2. Гипотенуза AB является диаметром описанной окружности.
3. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
4. \( AB^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32 \)
5. \( AB = \text{sqrt}(32) = 4\text{sqrt}(2) \) см.
6. Диаметр окружности \( d = AB = 4\text{sqrt}(2) \) см.
7. Квадрат описан около этой окружности. Сторона квадрата равна диаметру окружности.
8. Сторона квадрата \( a_{квадрата} = d = 4\text{sqrt}(2) \) см.
9. Площадь квадрата: \( S_{квадрата} = (a_{квадрата})^2 \)
10. \( S_{квадрата} = (4\text{sqrt}(2))^2 = 16 \times 2 = 32 \) см².

Ответ: 32 см².