Контрольные задания
Вопрос:

3. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь трапеции, если ∠CAD = 30°, AD = 12 см.

Фото задания: 3. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь трапеции, если ∠CAD = 30°,…Фото задания

Ответ:

Решение:

1. Дано: Равнобедренная трапеция ABCD. \( AC \bot CD \). \( \text{angle} CAD = 30^\text{o} \). \( AD = 12 \) см.

Найти: Площадь \( S \) трапеции.

Решение:

  1. Так как трапеция равнобедренная, то \( AD = BC = 12 \) см. Углы при основании равны: \( \text{angle} DAB = \text{angle} CBA \) и \( \text{angle} ADC = \text{angle} BCD \).
  2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD, так как \( AC \bot CD \). \( \text{angle} ACD = 90^\text{o} \).
  3. В треугольнике ACD: \( \text{angle} CAD = 30^\text{o} \), \( \text{angle} ADC = 180^\text{o} - 90^\text{o} - 30^\text{o} = 60^\text{o} \).
  4. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, значит, \( \text{angle} DAB = \text{angle} ADC = 60^\text{o} \).
  5. Найдем длину катета CD в прямоугольном треугольнике ACD: \( \text{tg}(\text{angle} CAD) = \frac{CD}{AC} \)
  6. \( \text{tg}(30^\text{o}) = \frac{CD}{AC} \), \( \frac{1}{\text{sqrt}(3)} = \frac{CD}{AC} \)
  7. \( CD = \frac{AC}{\text{sqrt}(3)} \)
  8. Найдем длину катета AC в прямоугольном треугольнике ACD: \( \text{cos}(\text{angle} CAD) = \frac{AC}{AD} \)
  9. \( \text{cos}(30^\text{o}) = \frac{AC}{12} \)
  10. \( \frac{\text{sqrt}(3)}{2} = \frac{AC}{12} \)
  11. \( AC = 12 \times \frac{\text{sqrt}(3)}{2} = 6\text{sqrt}(3) \) см.
  12. Теперь найдём CD: \( CD = \frac{6\text{sqrt}(3)}{\text{sqrt}(3)} = 6 \) см.
  13. В равнобедренной трапеции проведем высоту из вершины C к основанию AD, обозначим её CE. \( CE = h \).
  14. \( \text{angle} ADC = 60^\text{o} \). В прямоугольном треугольнике CDE: \( \text{sin}(\text{angle} ADC) = \frac{CE}{CD} \)
  15. \( \text{sin}(60^\text{o}) = \frac{h}{6} \)
  16. \( \frac{\text{sqrt}(3)}{2} = \frac{h}{6} \)
  17. \( h = 6 \times \frac{\text{sqrt}(3)}{2} = 3\text{sqrt}(3) \) см.
  18. Основание BC равно отрезку DE, так как трапеция равнобедренная.
  19. \( DE = CD \times \text{cos}(\text{angle} ADC) = 6 \times \text{cos}(60^\text{o}) = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \) см.
  20. \( BC = DE = 3 \) см.
  21. Площадь трапеции: \( S = \frac{1}{2}(AD+BC) \times h \)
  22. \( S = \frac{1}{2}(12+3) \times 3\text{sqrt}(3) = \frac{1}{2} \times 15 \times 3\text{sqrt}(3) = \frac{45\text{sqrt}(3)}{2} \) см2.

Ответ: \( \frac{45\text{sqrt}(3)}{2} \) см2.