5. Расстояние между двумя пристанями 72 км, моторная лодка проходит по течению реки на 2 часа быстрее, чем против течения. Найти скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 15 км/ч.

Решение:

Пусть:

• \( v_л \) — собственная скорость лодки (15 км/ч).
• \( v_т \) — скорость течения реки (искомая величина).
• \( S \) — расстояние между пристанями (72 км).

Скорость лодки по течению: \( v_{по} = v_л + v_т = 15 + v_т \) (км/ч).

Скорость лодки против течения: \( v_{против} = v_л - v_т = 15 - v_т \) (км/ч).

Время движения по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{72}{15 + v_т} \) (ч).

Время движения против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{72}{15 - v_т} \) (ч).

По условию, лодка проходит расстояние по течению на 2 часа быстрее, чем против течения:

\[ t_{против} - t_{по} = 2 \]

\[ \frac{72}{15 - v_т} - \frac{72}{15 + v_т} = 2 \]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[ \frac{36}{15 - v_т} - \frac{36}{15 + v_т} = 1 \]

Приведем дроби к общему знаменателю \( (15 - v_т)(15 + v_т) = 15^2 - v_т^2 = 225 - v_т^2 \):

\[ \frac{36(15 + v_т) - 36(15 - v_т)}{225 - v_т^2} = 1 \]

\[ \frac{540 + 36v_т - 540 + 36v_т}{225 - v_т^2} = 1 \]

\[ \frac{72v_т}{225 - v_т^2} = 1 \]

Умножим обе части на \( 225 - v_т^2 \):

\[ 72v_т = 225 - v_т^2 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ v_т^2 + 72v_т - 225 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( v_т \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 72^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225) = 5184 + 900 = 6084 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \]

Найдем корни:

\[ v_{т1} = \frac{-72 + 78}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ v_{т2} = \frac{-72 - 78}{2 \cdot 1} = \frac{-150}{2} = -75 \]

Так как скорость течения реки не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: Скорость течения реки равна 3 км/ч.