4. В уравнении x² + 11x + q = 0 один из корней равен -7. Найти другой корень и коэффициент q.

Решение:

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( x^2 + 11x + q = 0 \). По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:

\( x_1 + x_2 = -11 \)

\( x_1 \cdot x_2 = q \)

Нам дан один из корней: \( x_1 = -7 \).

Подставим значение \( x_1 \) в первое уравнение, чтобы найти \( x_2 \):

\( -7 + x_2 = -11 \)

\[ x_2 = -11 + 7 = -4 \]

Теперь найдем коэффициент \( q \), используя второе уравнение теоремы Виета:

\[ q = x_1 \cdot x_2 = (-7) \cdot (-4) = 28 \]

Ответ: другой корень равен -4, коэффициент q равен 28.