5. При разгоне саней на пути \( s = 20 \) м значение пре разгону силы трения было постоянным и равным \( F_{тр} = 30 \) Н. Определите работу, совершенную человеком при разгоне саней, если КПД в рассмотренном случае \( \eta = 90\% \).

Дано:

Путь \( s = 20 \) м

Сила трения \( F_{тр} = 30 \) Н

КПД \( \eta = 90\% = 0,9 \)

Найти:

Работу, совершенную человеком \( A_{чел} \)

Решение:

Работа, совершенная силами трения, равна:

\( A_{тр} = F_{тр} \cdot s \)

\( A_{тр} = 30 \text{ Н} \cdot 20 \text{ м} = 600 \) Дж

Коэффициент полезного действия (КПД) определяется как отношение полезной работы к полной работе:

\( \eta = \frac{A_{пол} }{A_{полн}} \)

В данном случае, полезной работой является работа, которая идет на увеличение кинетической энергии саней (и преодоление трения, если разгон начался из состояния покоя и не сказано иное), а полной работой является работа, совершенная человеком. Работа, совершенная человеком, идет на преодоление силы трения и на увеличение кинетической энергии саней. Если считать, что сани начали разгоняться из состояния покоя и конечная скорость неизвестна, то работа человека идет на преодоление трения и на сообщение саням кинетической энергии.

\( A_{чел} = A_{полезная} + A_{тр} \)

\( A_{полезная} \) — это та часть работы, которая преобразуется в кинетическую энергию.

КПД показывает, какая часть работы человека является полезной. В данном случае, полезная работа — это работа, которая не тратится на преодоление трения. Значит, \( A_{полезная} \) = \( E_{k, конечная} \).

\( \eta = \frac{A_{полезная}}{A_{чел}} \)

\( A_{чел} = \frac{A_{полезная}}{\eta} \)

Нам неизвестна \( A_{полезная} \) (т.е. конечная кинетическая энергия). Однако, часто под \( A_{полная} \) понимают работу, совершенную человеком, а \( A_{полезная} \) — работу, направленную на изменение состояния системы (например, увеличение кинетической энергии). Работа, совершаемая человеком, идет на преодоление силы трения и на увеличение кинетической энергии.

\( A_{чел} = A_{полезная} + A_{тр} \)

\( A_{чел} = E_{k} + A_{тр} \)

Из формулы КПД:

\( A_{полезная} = \eta \cdot A_{чел} \)

\( E_{k} = \eta \cdot A_{чел} \)

Подставим это в предыдущее уравнение:

\( A_{чел} = \eta \cdot A_{чел} + A_{тр} \)

\( A_{чел} - \eta \cdot A_{чел} = A_{тр} \)

\( A_{чел} (1 - \eta) = A_{тр} \)

\( A_{чел} = \frac{A_{тр}}{1 - \eta} \)

\( A_{чел} = \frac{600 \text{ Дж}}{1 - 0,9} = \frac{600}{0,1} = 6000 \) Дж

Ответ: 6000 Дж.