5) При каких значениях \( a \) и \( b \) система уравнений является неопределённой (имеет бесконечно много решений)?

Решение:

Система уравнений:

\[ \begin{cases} (a-10)x + by = 26 \\ ax - (b+4)y = 2a - 20 \end{cases} \]

Система линейных уравнений \( \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \) имеет бесконечно много решений, если выполняется условие пропорциональности коэффициентов:

\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \]

В нашем случае:

• \( a_1 = a - 10 \)
• \( b_1 = b \)
• \( c_1 = 26 \)
• \( a_2 = a \)
• \( b_2 = -(b+4) \)
• \( c_2 = 2a - 20 = 2(a-10) \)

Применим условие:

\[ \frac{a-10}{a} = \frac{b}{-(b+4)} = \frac{26}{2(a-10)} \]

Рассмотрим первую и третью части равенства:

\[ \frac{a-10}{a} = \frac{26}{2(a-10)} \]

\( \frac{a-10}{a} = \frac{13}{a-10} \)

\( (a-10)^2 = 13a \)

\[ a^2 - 20a + 100 = 13a \]

\( a^2 - 33a + 100 = 0 \)

Найдем корни этого квадратного уравнения:

\( D = (-33)^2 - 4(1)(100) = 1089 - 400 = 689 \).

\( a = \frac{33 \pm \sqrt{689}}{2} \). Это усложняет задачу, попробуем найти другой подход.

Перепишем третье условие \( \frac{b}{-(b+4)} = \frac{26}{2(a-10)} \) в другом виде:

\[ \frac{a-10}{a} = \frac{b}{-(b+4)} \]

\( -(a-10)(b+4) = ab \)

\[ -(ab + 4a - 10b - 40) = ab \]

\( -ab - 4a + 10b + 40 = ab \)

\( 2ab + 4a - 10b - 40 = 0 \)

\( ab + 2a - 5b - 20 = 0 \)

\( a(b+2) = 5b + 20 \)

\( a = \frac{5b+20}{b+2} = \frac{5(b+2)+10}{b+2} = 5 + \frac{10}{b+2} \)

Теперь рассмотрим равенство
\( \frac{b}{-(b+4)} = \frac{13}{a-10} \)

\( b(a-10) = -13(b+4) \)

\( ab - 10b = -13b - 52 \)

\( ab + 3b + 52 = 0 \)

Подставим \( a = 5 + \frac{10}{b+2} \):

\[ (5 + \frac{10}{b+2})b + 3b + 52 = 0 \]

\( 5b + \frac{10b}{b+2} + 3b + 52 = 0 \)

\( 8b + 52 + \frac{10b}{b+2} = 0 \)

Умножим на \( b+2 \):

\[ (8b + 52)(b+2) + 10b = 0 \]

\( 8b^2 + 16b + 52b + 104 + 10b = 0 \)

\( 8b^2 + 78b + 104 = 0 \)

Разделим на 2:

\[ 4b^2 + 39b + 52 = 0 \]

Найдем корни:

\( D = 39^2 - 4(4)(52) = 1521 - 832 = 689 \).

\( b = \frac{-39 \pm \sqrt{689}}{8} \).

Обратим внимание на условие
\( \frac{a-10}{a} = \frac{26}{2(a-10)} \). Если \( a = 10 \), то \( \frac{0}{10} = \frac{26}{0} \), что невозможно. Значит \( a \neq 10 \).

Также, если \( a-10 = 0 \) или \( a=0 \), то знаменатели обращаются в ноль. Если \( b = 0 \) или \( b = -4 \), то знаменатели тоже обращаются в ноль.

Рассмотрим равенство
\( \frac{a-10}{a} = \frac{26}{2(a-10)} \) и \( \frac{b}{-(b+4)} = \frac{26}{2(a-10)} \).

Из \( \frac{a-10}{a} = \frac{13}{a-10} \) получаем \( (a-10)^2 = 13a \).

Из \( \frac{b}{-(b+4)} = \frac{13}{a-10} \) получаем \( b(a-10) = -13(b+4) \).

Из \( \frac{a-10}{a} = \frac{b}{-(b+4)} \) получаем \( -(a-10)(b+4) = ab \).

Если \( a=10 \) и \( 2a-20=0 \), то \( a_2=10 \) и \( c_2=0 \). Это невозможно.

Если \( a=10 \), то \( c_2 = 2(10-10) = 0 \). Тогда
\( \frac{10-10}{10} = \frac{b}{-(b+4)} = \frac{26}{0} \).
\( 0 = \frac{b}{-(b+4)} \) => \( b=0 \).
Но
\( \frac{26}{0} \) неопределено, так что \( a \neq 10 \).

Если \( a-10=0 \) и \( a=0 \), то \( 0 = 0 \) и \( \frac{0}{0} \).

Условие неопределенности:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = k \) и \( c_1 = k c_2 \).

\( a_1 = a-10, b_1=b, c_1=26 \).
\( a_2=a, b_2=-(b+4), c_2=2(a-10) \).

\( a-10 = ka \) => \( a(1-k) = 10 \) => \( a = \frac{10}{1-k} \).

\( b = k(-(b+4)) = -kb - 4k \) => \( b(1+k) = -4k \) => \( b = \frac{-4k}{1+k} \).

\( 26 = k 2(a-10) = 2k(a-10) \).

\( 13 = k(a-10) \).
Подставим \( a = \frac{10}{1-k} \):

\( 13 = k(\frac{10}{1-k} - 10) \)

\( 13 = k(\frac{10 - 10(1-k)}{1-k}) \)

\( 13 = k(\frac{10 - 10 + 10k}{1-k}) \)

\( 13 = k(\frac{10k}{1-k}) = \frac{10k^2}{1-k} \)

\( 13(1-k) = 10k^2 \)

\( 13 - 13k = 10k^2 \)

\( 10k^2 + 13k - 13 = 0 \).

\( k = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4(10)(-13)}}{2(10)} = \frac{-13 \pm \sqrt{169 + 520}}{20} = \frac{-13 \pm \sqrt{689}}{20} \).

Следовательно, есть два таких значения \( k \), которые дают соответствующие значения \( a \) и \( b \).

\( a = \frac{10}{1-k} \) и \( b = \frac{-4k}{1+k} \).

Ответ: Система является неопределённой при значениях \( k = \frac{-13 \pm \sqrt{689}}{20} \), где \( a = \frac{10}{1-k} \) и \( b = \frac{-4k}{1+k} \).