5. Один из корней уравнения x² – 7x + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

Решение:

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( x^2 - 7x + q = 0 \).

По теореме Виета для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) сумма корней равна \( -b/a \), а произведение корней равно \( c/a \).

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = q \).

Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -(-7)/1 = 7 \).

Произведение корней: \( x_1 × x_2 = q/1 = q \).

Нам дан один из корней: \( x_1 = 13 \).

Найдем второй корень, используя сумму корней:

\( 13 + x_2 = 7 \)

\( x_2 = 7 - 13 = -6 \).

Теперь найдем свободный член \( q \), используя произведение корней:

\( q = x_1 × x_2 = 13 × (-6) = -78 \).

Ответ: Другой корень равен -6, свободный член q равен -78.