5) Найдите значение выражения \( \sqrt{54 \cdot 90 \cdot 15} \).

Решение:

Упростим выражение под корнем, разложив числа на простые множители:

• \( 54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3 \)
• \( 90 = 9 \cdot 10 = 3^2 \cdot 2 \cdot 5 \)
• \( 15 = 3 \cdot 5 \)

Теперь подставим разложения под корень:

\( \sqrt{54 \cdot 90 \cdot 15} = \sqrt{(2 \cdot 3^3) \cdot (3^2 \cdot 2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5)} \)

Сгруппируем одинаковые множители:

\( = \sqrt{2^2 \cdot 3^3 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt{2^2 \cdot 3^{3+1+2} \cdot 5^2} = \sqrt{2^2 \cdot 3^6 \cdot 5^2} \)

Извлечём квадратный корень:

\( = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^6} \cdot \sqrt{5^2} = 2 \cdot 3^{6/2} \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \)

Вычислим результат:

\( 2 \cdot 27 \cdot 5 = 54 \cdot 5 = 270 \).

Ответ: 270.