5. Найдите значение выражения. $$\frac{2 \sin \alpha \cos \beta}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}$$, если \( \alpha=30^\circ, \beta=60^\circ \)

Решение:

1. Воспользуемся формулой косинуса суммы и разности:
   \( \cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \)
   \( \cos(\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
2. Сложим эти два выражения:
   \( \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \)
   \( = 2 \cos \alpha \cos \beta \)
3. Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:
   \( \frac{2 \sin \alpha \cos \beta}{2 \cos \alpha \cos \beta} \)
4. Сократим \( 2 \cos \beta \) (при условии, что \( \cos \beta
   e 0 \), что верно для \( \beta = 60^\circ \)):
   \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha \)
5. Теперь подставим значение \( \alpha = 30^\circ \):
   \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$