5. Найдите точки пересечения окружности x² + y² = 16 с прямой y = x + 1.

Решение:

У нас есть система уравнений:

1. \[ x^2 + y^2 = 16 \]
2. \[ y = x + 1 \]

Подставим второе уравнение в первое:

\[ x^2 + (x + 1)^2 = 16 \]

\[ x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 16 \]

\[ 2x^2 + 2x + 1 = 16 \]

\[ 2x^2 + 2x - 15 = 0 \]

Теперь найдем дискриминант (D) для квадратного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) \]

\[ D = 4 + 120 \]

\[ D = 124 \]

Найдем корни x₁ и x₂:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{124}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 + \sqrt{4 \cdot 31}}{4} = \frac{-2 + 2\sqrt{31}}{4} = \frac{-1 + \sqrt{31}}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{124}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 - 2\sqrt{31}}{4} = \frac{-1 - \sqrt{31}}{2} \]

Теперь найдем соответствующие значения y, используя уравнение y = x + 1:

Для x₁:

\[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{31}}{2} + 1 = \frac{-1 + \sqrt{31} + 2}{2} = \frac{1 + \sqrt{31}}{2} \]

Для x₂:

\[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{31}}{2} + 1 = \frac{-1 - \sqrt{31} + 2}{2} = \frac{1 - \sqrt{31}}{2} \]

Ответ: Точки пересечения:

• \[ \left( \frac{-1 + \sqrt{31}}{2}, \frac{1 + \sqrt{31}}{2} \right) \]
• \[ \left( \frac{-1 - \sqrt{31}}{2}, \frac{1 - \sqrt{31}}{2} \right) \]