5. Найдите координаты точек пересечения графиков функций y = x/(x-3) и y = (3x-4)/(2x).

Решение:

1. Чтобы найти точки пересечения графиков, приравняем выражения для \( y \): \( \frac{x}{x - 3} = \frac{3x - 4}{2x} \).
2. Наложим ограничения: \( x ≠ 3 \) и \( x ≠ 0 \).
3. Умножим обе части уравнения на \( (x - 3)(2x) \) для избавления от знаменателей: \( x \cdot 2x = (3x - 4)(x - 3) \).
4. Раскроем скобки: \( 2x^2 = 3x^2 - 9x - 4x + 12 \).
5. \( 2x^2 = 3x^2 - 13x + 12 \).
6. Перенесём все члены в правую часть: \( 3x^2 - 2x^2 - 13x + 12 = 0 \) \( \rightarrow \) \( x^2 - 13x + 12 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 169 - 48 = 121 \). \( \sqrt{D} = 11 \).
8. Найдём корни: \( x_1 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12 \). \( x_2 = \frac{13 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \).
9. Оба значения \( x=12 \) и \( x=1 \) удовлетворяют ограничениям \( x ≠ 3 \) и \( x ≠ 0 \).
10. Найдем соответствующие значения \( y \), подставив \( x \) в любое из исходных уравнений. Возьмём \( y = \frac{x}{x - 3} \):
• При \( x_1 = 12 \): \( y_1 = \frac{12}{12 - 3} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \).
• При \( x_2 = 1 \): \( y_2 = \frac{1}{1 - 3} = \frac{1}{-2} = -0.5 \).

Ответ: (12; 4/3), (1; -0.5).