5. Моторная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же расстояние по течению реки, затратив на весь путь 14 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость лодки (в км/ч), а \( u \) — скорость течения реки (в км/ч). Из условия задачи известно, что \( u = 2 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v - u = v - 2 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( v + u = v + 2 \) км/ч.

Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{45}{v-2} \) ч.

Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{45}{v+2} \) ч.

Общее время в пути: \( t_{общ} = t_{против} + t_{по} = 14 \) ч.

Составим уравнение:

\[ \frac{45}{v-2} + \frac{45}{v+2} = 14 \]

Приведем дроби к общему знаменателю \( (v-2)(v+2) = v^2 - 4 \):

\[ \frac{45(v+2) + 45(v-2)}{(v-2)(v+2)} = 14 \]

\[ \frac{45v + 90 + 45v - 90}{v^2 - 4} = 14 \]

\[ \frac{90v}{v^2 - 4} = 14 \]

Умножим обе части на \( v^2 - 4 \):

\[ 90v = 14(v^2 - 4) \]

\[ 90v = 14v^2 - 56 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 14v^2 - 90v - 56 = 0 \]

Разделим все члены на 2 для упрощения:

\[ 7v^2 - 45v - 28 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 2025 + 784 = 2809 \]

Найдем \( \sqrt{D} \):

\[ \sqrt{2809} = 53 \]

Найдем корни уравнения:

\[ v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 + 53}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7 \]

\[ v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 - 53}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7} \]

Так как скорость лодки не может быть отрицательной, второй корень не подходит. Следовательно, собственная скорость лодки равна 7 км/ч.

Ответ: 7 км/ч.