Контрольные задания
Вопрос:

5. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1 час навстречу ему из пункта В, находящегося в 30 км от А, вышла моторная лодка, которая встретилась с плотом через 2 часа после своего выхода. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Решение:



  • Обозначения:

    • Пусть $$v_л$$ — собственная скорость лодки (км/ч).

    • Скорость течения реки $$v_т = 2$$ км/ч.

    • Скорость плота $$v_п = v_т = 2$$ км/ч (плот движется по течению).

    • Скорость лодки по течению $$v_{л.п.т.} = v_л + v_т = v_л + 2$$ км/ч.

    • Скорость лодки против течения $$v_{л.п.т.} = v_л - v_т = v_л - 2$$ км/ч.



  • Анализ движения:

    • Плот из пункта А отправился первым. Через 1 час из пункта В навстречу ему вышла лодка.

    • Встреча произошла через 2 часа после выхода лодки.

    • Общее время движения плота до встречи: 1 час (до выхода лодки) + 2 часа (после выхода лодки) = 3 часа.

    • За 3 часа плот проплыл расстояние $$S_п = v_п × t_п = 2 × 3 = 6$$ км.

    • Лодка двигалась навстречу плоту 2 часа. Ее скорость относительно воды — $$v_л$$.

    • Расстояние между А и В — 30 км.



  • Составление уравнения:

    • Когда лодка вышла из пункта В, плот уже проплыл 6 км от А. Расстояние между лодкой и плотом в этот момент составляло $$30 - 6 = 24$$ км.

    • Лодка и плот двигались навстречу друг другу. Их относительная скорость равна сумме скоростей: $$v_{отн.} = v_п + v_{л.п.т.}$$.

    • Важно: Лодка вышла НАВСТРЕЧУ плоту, значит, она двигалась ПРОТИВ течения, если пункт В находится ВЫШЕ по течению, чем пункт А. Но в условии сказано, что лодка вышла НАВСТРЕЧУ плоту, который движется ВНИЗ по реке. Следовательно, лодка двигалась ВВЕРХ по реке, то есть ПРОТИВ течения.

    • Скорость лодки, с которой она двигалась навстречу плоту: $$v_{л.п.т.} = v_л - v_т = v_л - 2$$.

    • Относительная скорость сближения: $$v_{отн.} = v_п + v_{л.п.т.} = 2 + (v_л - 2) = v_л$$.

    • Расстояние, которое они преодолели вместе навстречу друг другу: $$S_{встречи} = v_{отн.} × t_{лодки} = v_л × 2$$.

    • Это расстояние равно 24 км (расстояние между ними в момент выхода лодки).

    • Итак, $$2v_л = 24$$.



  • Находим собственную скорость лодки:

    \[ v_л = \frac{24}{2} = 12 \text{ км/ч} \]




Проверка:



  • Скорость плота = 2 км/ч. За 3 часа проплыл 6 км.

  • Собственная скорость лодки = 12 км/ч. Скорость лодки против течения = 12 - 2 = 10 км/ч.

  • За 2 часа лодка проплыла 10 * 2 = 20 км.

  • Общее расстояние, которое прошли друг другу: 6 км (плот) + 20 км (лодка) = 26 км.

  • НО! Расстояние между А и В = 30 км. Лодка вышла навстречу плоту. Плот из А вниз. Лодка из В навстречу.

  • Время до встречи: t (плот) = t (лодка) + 1.

  • Расстояние плота: $$S_п = v_п × t_п = 2 × (t_л + 1)$$.

  • Расстояние лодки: $$S_л = v_{л.п.т.} × t_л = (v_л - 2) × t_л$$.

  • $$S_п + S_л = 30$$.

  • $$2(t_л + 1) + (v_л - 2)t_л = 30$$.

  • $$2t_л + 2 + v_л t_л - 2t_л = 30$$.

  • $$v_л t_л + 2 = 30$$.

  • $$v_л t_л = 28$$.

  • Из условия: лодка встретилась с плотом через 2 часа ПОСЛЕ СВОЕГО ВЫХОДА. Значит $$t_л = 2$$ часа.

  • $$v_л × 2 = 28$$.

  • $$v_л = 14$$ км/ч.


Финальная проверка:



  • Скорость плота = 2 км/ч. Время движения плота = 2 + 1 = 3 часа. Расстояние плота = 2 * 3 = 6 км.

  • Собственная скорость лодки = 14 км/ч. Скорость лодки против течения = 14 - 2 = 12 км/ч.

  • Время движения лодки = 2 часа. Расстояние лодки = 12 * 2 = 24 км.

  • Общее расстояние = 6 км (плот) + 24 км (лодка) = 30 км. Условие выполнено.


Ответ: 14 км/ч

📄 Все решения с фото📸 Фото ГДЗ

Похожие