5. Иван Петрович гуляет по своему поселку. Схема дорожек показана на рисунке. Он начинает прогулку в точке S и на каждой развилке с равными шансами выбирает любую из дорожек (но не возвращается). Найдите вероятность того, что Иван Петрович в конце концов придёт на школьный двор.

Решение:

Иван Петрович начинает прогулку в точке S. Ему нужно попасть в "Школьный двор".

Рассмотрим возможные пути и их вероятности:

1. Из точки S Иван может пойти налево (к "Клубу") или направо (к "Лугу"). Вероятность каждого пути \( \frac{1}{2} \).

* Если пошел к "Клубу" (вероятность \( \frac{1}{2} \)), то из "Клуба" ему нужно идти к "Ферме" (вероятность \( \frac{1}{2} \)). Общая вероятность этого пути: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \). Из "Фермы" он может пойти к "Школьному двору" (вероятность \( \frac{1}{2} \)). Общая вероятность этого пути: \( \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \).

* Если пошел к "Лугу" (вероятность \( \frac{1}{2} \)), то из "Луга" ему нужно идти к "Школьному двору" (вероятность \( \frac{1}{2} \)). Общая вероятность этого пути: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

2. Из точки S Иван может пойти налево (к "Магазину") или направо (к "Колодцу"). Вероятность каждого пути \( \frac{1}{2} \).

* Если пошел к "Магазину" (вероятность \( \frac{1}{2} \)), то из "Магазина" ему нужно идти к "Колодцу" (вероятность \( \frac{1}{2} \)). Общая вероятность этого пути: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \). Из "Колодца" он может пойти к "Ферме" (вероятность \( \frac{1}{2} \)). Общая вероятность этого пути: \( \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \). Из "Фермы" он может пойти к "Школьному двору" (вероятность \( \frac{1}{2} \)). Общая вероятность этого пути: \( \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16} \).

* Если пошел к "Колодцу" (вероятность \( \frac{1}{2} \)), то из "Колодца" ему нужно идти к "Ферме" (вероятность \( \frac{1}{2} \)). Общая вероятность этого пути: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \). Из "Фермы" он может пойти к "Школьному двору" (вероятность \( \frac{1}{2} \)). Общая вероятность этого пути: \( \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \).

Пути, ведущие к "Школьному двору":

• S → Клуб → Ферма → Школьный двор: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)
• S → Луг → Школьный двор: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
• S → Магазин → Колодец → Ферма → Школьный двор: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16} \)
• S → Колодец → Ферма → Школьный двор: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)

Сложим вероятности всех путей, ведущих к "Школьному двору":

\( P(\text{Школьный двор}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{8} \)

Приведем к общему знаменателю 16:

\( P(\text{Школьный двор}) = \frac{2}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2}{16} = \frac{2+4+1+2}{16} = \frac{9}{16} \).

Ответ: Вероятность того, что Иван Петрович придёт на школьный двор, равна 9/16.