5. Имеет ли решения система: \(\begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ -10x + 4y = 6 \end{cases}\) и сколько?

Решение:

Умножим первое уравнение системы на -2:

\[ -2(5x + 2y) = -2 \cdot 3 \]\[ -10x - 4y = -6 \]

Сравним полученное уравнение \( -10x - 4y = -6 \) со вторым уравнением системы \( -10x + 4y = 6 \).

Заметим, что коэффициенты при \( x \) одинаковы (\( -10x \)), но коэффициенты при \( y \) отличаются знаком (\( -4y \) и \( +4y \)), а правые части тоже отличаются знаком (\( -6 \) и \( +6 \)).

Если мы умножим первое уравнение на 2:

\[ 2(5x + 2y) = 2 \cdot 3 \]\[ 10x + 4y = 6 \]

Теперь сравним это с вторым уравнением: \( -10x + 4y = 6 \).

Если мы умножим второе уравнение на -1:

\[ -1(-10x + 4y) = -1 \cdot 6 \]\[ 10x - 4y = -6 \]

Теперь сравним это с удвоенным первым уравнением \( 10x + 4y = 6 \).

Мы видим, что левые части уравнений \( 10x + 4y \) и \( 10x - 4y \) отличаются, а правые части \( 6 \) и \( -6 \) отличаются.

Давайте ещё раз умножим первое уравнение на 2:

\[ 2(5x + 2y) = 2 \times 3 \]\[ 10x + 4y = 6 \]

Сравним с вторым уравнением: \( -10x + 4y = 6 \).

Умножим второе уравнение на -1:

\[ -1(-10x + 4y) = -1 \times 6 \]\[ 10x - 4y = -6 \]

Теперь у нас есть:

\[ \begin{cases} 10x + 4y = 6 \\ 10x - 4y = -6 \end{cases} \]

Сложим эти два уравнения:

\[ (10x + 4y) + (10x - 4y) = 6 + (-6) \]\[ 20x = 0 \]\[ x = 0 \]

Подставим \( x = 0 \) в первое уравнение исходной системы:

\[ 5(0) + 2y = 3 \]\[ 2y = 3 \]\[ y = \frac{3}{2} \]

Проверим полученное решение \( x = 0, y = \frac{3}{2} \) во втором уравнении исходной системы:

\[ -10(0) + 4(\frac{3}{2}) = 0 + 4 \cdot \frac{3}{2} = 2 \times 3 = 6 \]

Это совпадает с правой частью второго уравнения.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: Система имеет одно решение: x = 0, y = 3/2.