3. Решите систему уравнений: \(\begin{cases} 7 - 3(4y - x) = 27 - 10y \\ 2x - 7y + 30 = 7 - 4(x + 3y) \end{cases}\)

Решение:

Упростим оба уравнения системы.

Первое уравнение:

\[ 7 - 12y + 3x = 27 - 10y \]\[ 3x - 12y + 10y = 27 - 7 \]\[ 3x - 2y = 20 \]

Второе уравнение:

\[ 2x - 7y + 30 = 7 - 4x - 12y \]\[ 2x + 4x - 7y + 12y = 7 - 30 \]\[ 6x + 5y = -23 \]

Теперь у нас есть упрощенная система:

\[\begin{cases} 3x - 2y = 20 \\ 6x + 5y = -23 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициент при \( x \) стал равен 6:

\[ 2(3x - 2y) = 2 \cdot 20 \]\[ 6x - 4y = 40 \]

Вычтем это уравнение из второго уравнения упрощенной системы:

\[ (6x + 5y) - (6x - 4y) = -23 - 40 \]\[ 6x + 5y - 6x + 4y = -63 \]\[ 9y = -63 \]\[ y = \frac{-63}{9} \]\[ y = -7 \]

Подставим \( y = -7 \) в первое уравнение упрощенной системы:

\[ 3x - 2(-7) = 20 \]\[ 3x + 14 = 20 \]\[ 3x = 20 - 14 \]\[ 3x = 6 \]\[ x = \frac{6}{3} \]\[ x = 2 \]

Проверим решение \( x = 2, y = -7 \) в исходных уравнениях.

Первое уравнение:

\[ 7 - 3(4(-7) - 2) = 7 - 3(-28 - 2) = 7 - 3(-30) = 7 + 90 = 97 \]\[ 27 - 10(-7) = 27 + 70 = 97 \] (Верно)

Второе уравнение:

\[ 2(2) - 7(-7) + 30 = 4 + 49 + 30 = 83 \]\[ 7 - 4(2 + 3(-7)) = 7 - 4(2 - 21) = 7 - 4(-19) = 7 + 76 = 83 \] (Верно)

Ответ: x = 2, y = -7.