5. Докажите тождество: $$\left(\frac{a}{a^2 - 25} - \frac{a-8}{a^2 - 10a + 25}\right) : \frac{a-20}{(a-5)^2} = -\frac{a}{a+5}$$.

Решение:

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители:

$$a^2 - 25 = (a-5)(a+5)$$

$$a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$$

Общий знаменатель для дробей в скобках: $$(a-5)^2(a+5)$$.

$$\frac{a}{(a-5)(a+5)} = \frac{a(a-5)}{(a-5)^2(a+5)}$$

$$\frac{a-8}{(a-5)^2} = \frac{(a-8)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)}$$

Выполним вычитание дробей в скобках:

$$\frac{a(a-5) - (a-8)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2 - 5a - (a^2 + 5a - 8a - 40)}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2 - 5a - (a^2 - 3a - 40)}{(a-5)^2(a+5)}$$

$$= \frac{a^2 - 5a - a^2 + 3a + 40}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{-2a + 40}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)}$$

Теперь выполним деление:

$$\frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} : \frac{a-20}{(a-5)^2} = \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} \cdot \frac{(a-5)^2}{a-20}$$

Сократим общие множители \((a-20)\) и \((a-5)^2\):

$$= \frac{-2}{a+5}$$

Чтобы получить требуемый результат, нужно, чтобы \(-2 = a\), что неверно. Проверим условие задания. Возможно, в условии опечатка.

Если предположить, что в правой части равенства должно быть \(-\frac{2}{a+5}\), то тождество доказано.

Предположим, что в числителе дроби после двоеточия было \(2(a-20)\) вместо \(a-20\), тогда:

$$\frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} : \frac{2(a-20)}{(a-5)^2} = \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} \cdot \frac{(a-5)^2}{2(a-20)} = \frac{-2}{a+5}$$

Если в задании предполагается, что \(-\frac{a}{a+5}\) то это невозможно приведёнными преобразованиями.

Учитывая, что задача просит доказать тождество, и результат \(-\frac{2}{a+5}\) является наиболее вероятным, предположим, что правой частью было \(-\frac{2}{a+5}\).

Ответ: Тождество доказано при условии, что правая часть равна $$\frac{-2}{a+5}$$.