5. Докажите, что значение выражения \( \frac{1}{1-3\sqrt{5}} + \frac{1}{1+3\sqrt{5}} \) есть число рациональное.

Решение:

Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, нужно привести выражение к простейшему виду и показать, что оно не содержит иррациональных чисел (корней).

Приведём выражение к общему знаменателю:

1. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: \( (1-3\sqrt{5})(1+3\sqrt{5}) \).
2. \( \frac{1}{1-3\sqrt{5}} + \frac{1}{1+3\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (1+3\sqrt{5})}{(1-3\sqrt{5})(1+3\sqrt{5})} + \frac{1 \cdot (1-3\sqrt{5})}{(1+3\sqrt{5})(1-3\sqrt{5})} \)
3. Сложим числители:
4. \( = \frac{(1+3\sqrt{5}) + (1-3\sqrt{5})}{(1-3\sqrt{5})(1+3\sqrt{5})} \)
5. \( = \frac{1+3\sqrt{5}+1-3\sqrt{5}}{(1-3\sqrt{5})(1+3\sqrt{5})} \)
6. \( = \frac{2}{(1-3\sqrt{5})(1+3\sqrt{5})} \)

Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

1. \( (1-3\sqrt{5})(1+3\sqrt{5}) = 1^2 - (3\sqrt{5})^2 \)
2. \( = 1 - (3^2 \cdot (\sqrt{5})^2) \)
3. \( = 1 - (9 \cdot 5) \)
4. \( = 1 - 45 \)
5. \( = -44 \)

Подставим полученное значение знаменателя обратно в дробь:

1. \( \frac{2}{-44} \)
2. Сократим дробь:
3. \( = -\frac{1}{22} \)

Полученное значение \( -\frac{1}{22} \) является рациональным числом, так как оно может быть представлено в виде отношения двух целых чисел ( \( -1 \) и \( 22 \) ), где знаменатель не равен нулю.

Ответ: Значение выражения равно \( -\frac{1}{22} \), что является рациональным числом.