2. Сравните: \( \frac{1}{3}\sqrt{60} \) и \( 10\sqrt{\frac{1}{5}} \)

Решение:

Чтобы сравнить два выражения с корнями, приведём их к одному виду, возведя множитель перед корнем под знак корня.

Первое выражение: \( \frac{1}{3}\sqrt{60} \)

1. Возведём \( \frac{1}{3} \) в квадрат и поместим под знак корня:
2. \( \frac{1}{3}\sqrt{60} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 60} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 60} = \sqrt{\frac{60}{9}} \)
3. Упростим дробь \( \frac{60}{9} \) (разделим числитель и знаменатель на 3):
4. \( \sqrt{\frac{20}{3}} \)

Второе выражение: \( 10\sqrt{\frac{1}{5}} \)

1. Возведём 10 в квадрат и поместим под знак корня:
2. \( 10\sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{10^2 \cdot \frac{1}{5}} = \sqrt{100 \cdot \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{100}{5}} \)
3. Вычислим значение дроби:
4. \( \sqrt{20} \)

Сравнение

Теперь нам нужно сравнить \( \sqrt{\frac{20}{3}} \) и \( \sqrt{20} \).

1. Вычислим значение \( \frac{20}{3} \):
2. \( \frac{20}{3} \approx 6.67 \)
3. Сравним \( \sqrt{6.67} \) и \( \sqrt{20} \).
4. Так как \( 6.67 < 20 \), то \( \sqrt{6.67} < \sqrt{20} \).

Следовательно, \( \frac{1}{3}\sqrt{60} < 10\sqrt{\frac{1}{5}} \).

Ответ: \( \frac{1}{3}\sqrt{60} < 10\sqrt{\frac{1}{5}} \).