3. Сократите дробь: a) \( \frac{6-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-\sqrt{2}} \) б) \( \frac{b-\sqrt{b}}{\sqrt{b}-2} \)

Решение:

а) \( \frac{6-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-\sqrt{2}} \)

1. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю \( \sqrt{10}+\sqrt{2} \):
2. \( \frac{6-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{\sqrt{10}+\sqrt{2}} = \frac{(6-\sqrt{5})(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{2})^2} \)
3. Раскроем скобки в числителе и упростим знаменатель:
4. \( \frac{6\sqrt{10} + 6\sqrt{2} - \sqrt{5}\sqrt{10} - \sqrt{5}\sqrt{2}}{10-2} = \frac{6\sqrt{10} + 6\sqrt{2} - \sqrt{50} - \sqrt{10}}{8} \)
5. Упростим \( \sqrt{50} \): \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)
6. Подставим и приведём подобные слагаемые:
7. \( \frac{6\sqrt{10} + 6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - \sqrt{10}}{8} = \frac{(6\sqrt{10}-\sqrt{10}) + (6\sqrt{2}-5\sqrt{2})}{8} = \frac{5\sqrt{10} + \sqrt{2}}{8} \)

б) \( \frac{b-\sqrt{b}}{\sqrt{b}-2} \)

1. Вынесем \( \sqrt{b} \) из числителя:
2. \( \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}-1)}{\sqrt{b}-2} \)
3. (Обратите внимание: в задании, вероятно, опечатка, и должно быть \( \sqrt{b}-1 \) в знаменателе, чтобы можно было сократить. Если предположить, что в числителе \( b-4 \), то можно сократить. Но будем решать как написано)
4. Если предположить, что в числителе \( b-4 \), тогда:
5. \( \frac{b-4}{\sqrt{b}-2} = \frac{(\sqrt{b}-2)(\sqrt{b}+2)}{\sqrt{b}-2} = \sqrt{b}+2 \)
6. Если решать как написано \( \frac{b-\sqrt{b}}{\sqrt{b}-2} \), то возможно, что числитель это \( b-2\sqrt{b} \)? Тогда:
7. \( \frac{b-2\sqrt{b}}{\sqrt{b}-2} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}{\sqrt{b}-2} = \sqrt{b} \)
8. Будем решать, предполагая, что в числителе \( b-2\sqrt{b} \) для возможности сокращения.
9. \( \frac{b-2\sqrt{b}}{\sqrt{b}-2} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}{\sqrt{b}-2} = \sqrt{b} \)

Ответ: а) \( \frac{5\sqrt{10} + \sqrt{2}}{8} \); б) \( \sqrt{b} \) (при условии, что числитель \( b-2\sqrt{b} \) ).