№5. Даны координаты трех вершин прямоугольника ABCD: B(-2; -4), C(2; -4) и D(2; 2). 1) Постройте этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины А и координаты точки пересечения диагоналей. 3) Вычислите площадь и периметр этого прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка равна 1 см.

Решение:

1. Построение прямоугольника:

• Заданные вершины: B(-2, -4), C(2, -4), D(2, 2).
• Так как это прямоугольник, стороны BC и CD перпендикулярны.
• Длина стороны BC (горизонтальная): \( |2 - (-2)| = |2 + 2| = 4 \) единицы.
• Длина стороны CD (вертикальная): \( |2 - (-4)| = |2 + 4| = 6 \) единиц.
• Для нахождения вершины A, нужно учесть, что AB параллельна CD, а AD параллельна BC.
• Следовательно, x-координата A будет такой же, как у D (2), а y-координата A будет такой же, как у B (-4), но при условии, что A и D образуют сторону, параллельную BC. Исходя из порядка вершин ABCD, A должна быть (-2, 2).
• Проверим: AB = \( |2 - (-4)| = 6 \). AD = \( |2 - (-2)| = 4 \). Это соответствует сторонам CD и BC.
• Вершина A имеет координаты (-2, 2).

2. Координаты вершины А и точки пересечения диагоналей:

• Координаты вершины A: (-2, 2).
• Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая является серединой любой из диагоналей (например, AC или BD).
• Найдем середину диагонали BD:
• x-координата середины: \( \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)
• y-координата середины: \( \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
• Точка пересечения диагоналей имеет координаты (0, -1).

3. Вычисление площади и периметра:

• Длина стороны BC = 4 см.
• Длина стороны CD = 6 см.
• Площадь прямоугольника = длина × ширина = BC × CD = 4 см × 6 см = 24 см².
• Периметр прямоугольника = 2 × (длина + ширина) = 2 × (4 см + 6 см) = 2 × 10 см = 20 см.

График: