5. Дан треугольник ABC, BM — его медиана. Известно, что BM = AM. Угол С равен 35°. Найдите угол А.

Решение:

Так как BM — медиана, то AM = MC. По условию BM = AM. Следовательно, AM = MC = BM.

Рассмотрим треугольник ABM. Так как BM = AM, то треугольник ABM равнобедренный. Углы при основании AM равны:

\[ \angle ABM = \angle BAM = \angle A \]

Рассмотрим треугольник BCM. Так как BM = MC, то треугольник BCM равнобедренный. Углы при основании BC равны:

\[ \angle CBM = \angle BCM = \angle C = 35^{\circ} \]

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]

Где
\( \angle B = \angle ABM + \angle CBM = \angle A + 35^{\circ} \).

Подставим значения углов в уравнение суммы углов треугольника:

\[ \angle A + (\angle A + 35^{\circ}) + 35^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ 2 \angle A + 70^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ 2 \angle A = 180^{\circ} - 70^{\circ} \]

\[ 2 \angle A = 110^{\circ} \]

\[ \angle A = 55^{\circ} \]

Ответ: 55°