5. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке F, лежащей на стороне BC. Докажите, что F — середина BC.

Пусть AB=a, AD=b, а угол A равен α. Так как F лежит на BC, то BF=AD·t для некоторого t, где F=B+t·AD.

1. Поскольку AF — биссектриса угла A, расстояния от F до прямых AB и AD равны.
2. Расстояние от F до AD равно t·h, где h — высота параллелограмма к AD. Расстояние от F до AB равно (1−t)·h, поскольку F лежит на BC, параллельной AD.
3. Равенство расстояний даёт t h=(1−t)h, следовательно, t=1/2.
4. Значит, BF=FC, то есть F — середина BC.

Ответ: F — середина BC.