4. На средней линии трапеции KLMN с основаниями KN и LM выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников KLE и MEN равна сумме площадей треугольников LEM и KEN.

Пусть длины оснований KN и LM равны a и b, а высота трапеции — h. Средняя линия параллельна основаниям, поэтому расстояние от E до каждого основания равно h/2.

1. S_KEN=ah/4 и S_LEM=bh/4.
2. Четыре треугольника, образованные диагональными отрезками через E, разбивают трапецию. Поскольку E лежит на средней линии, суммы площадей треугольников у оснований и у боковых сторон обе равны h(a+b)/4.
3. Следовательно, S_KLE+S_MEN=S_LEM+S_KEN.

Ответ: суммы площадей равны.