3. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна сумме площадей треугольников ABK и CKD.

Обозначим длины оснований BC=b, AD=d, а высоту трапеции — h. Средняя линия параллельна основаниям и находится на расстоянии h/2 от каждого из них.

1. Для треугольника BKC возьмём основание BC: S_BKC=bh/4.
2. Для треугольника AKD возьмём основание AD: S_AKD=dh/4.
3. Треугольники ABK и CKD имеют общую высоту h/2 к соответствующим сторонам, лежащим на боковых сторонах трапеции. Их суммарная площадь равна h(b+d)/4: это следует также из разложения площади трапеции средней линией.
4. Значит, S_BKC+S_AKD=h(b+d)/4=S_ABK+S_CKD.

Ответ: суммы площадей равны.