5. Баржа прошла по течению реки 84 км и, повернув обратно, прошла ещё 90 км, затратив на весь путь 8 ч. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

1. Пусть \( v \) км/ч — собственная скорость баржи.
2. Скорость баржи по течению: \( v + 5 \) км/ч.
3. Время движения по течению: \( t_1 = \frac{84}{v + 5} \) часов.
4. Скорость баржи против течения: \( v - 5 \) км/ч.
5. Время движения против течения: \( t_2 = \frac{90}{v - 5} \) часов.
6. Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 8 \) часов.
7. \( \frac{84}{v + 5} + \frac{90}{v - 5} = 8 \).
8. Разделим обе части уравнения на 2: \( \frac{42}{v + 5} + \frac{45}{v - 5} = 4 \).
9. Приведём к общему знаменателю \( (v + 5)(v - 5) \): \( \frac{42(v - 5) + 45(v + 5)}{(v + 5)(v - 5)} = 4 \).
10. \( \frac{42v - 210 + 45v + 225}{v^2 - 25} = 4 \).
11. \( \frac{87v + 15}{v^2 - 25} = 4 \).
12. \( 87v + 15 = 4(v^2 - 25) \).
13. \( 87v + 15 = 4v^2 - 100 \).
14. Приведём к стандартному виду квадратного уравнения: \( 4v^2 - 87v - 115 = 0 \).
15. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-87)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-115) = 7569 + 1840 = 9409 \).
16. \( \sqrt{D} = \sqrt{9409} = 97 \).
17. Найдем корни уравнения: \( v_1 = \frac{87 + 97}{2 \cdot 4} = \frac{184}{8} = 23 \). \( v_2 = \frac{87 - 97}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -1.25 \).
18. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v = 23 \) км/ч.

Ответ: 23 км/ч.