3. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 63 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 ч, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

Решение:

1. Пусть \( v \) км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В.
2. Время в пути из А в В: \( t_{AB} = \frac{63}{v} \) часов.
3. Скорость велосипедиста на пути из В в А: \( v + 2 \) км/ч.
4. Время в пути из В в А (без остановки): \( \frac{63}{v + 2} \) часов.
5. Общее время в пути из В в А (с учётом остановки): \( \frac{63}{v + 2} + 2 \) часов.
6. По условию, время в пути из А в В равно общему времени в пути из В в А: \( \frac{63}{v} = \frac{63}{v + 2} + 2 \).
7. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{63}{v} = \frac{63 + 2(v + 2)}{v + 2} \).
8. \( \frac{63}{v} = \frac{63 + 2v + 4}{v + 2} \).
9. \( \frac{63}{v} = \frac{67 + 2v}{v + 2} \).
10. Перекрестное умножение: \( 63(v + 2) = v(67 + 2v) \).
11. Раскроем скобки: \( 63v + 126 = 67v + 2v^2 \).
12. Приведём к стандартному виду квадратного уравнения: \( 2v^2 + 4v - 126 = 0 \).
13. Разделим на 2: \( v^2 + 2v - 63 = 0 \).
14. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 \).
15. \( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \).
16. Найдем корни уравнения: \( v_1 = \frac{-2 + 16}{2} = \frac{14}{2} = 7 \). \( v_2 = \frac{-2 - 16}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \).
17. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v = 7 \) км/ч (скорость из А в В).
18. Скорость на пути из В в А: \( v + 2 = 7 + 2 = 9 \) км/ч.

Ответ: 9 км/ч.