5. AB — общая касательная к двум касающимся окружностям радиусами 9 см и 4 см, A и B — точки касания (рис. 4). Найти длину отрезка AB.

Краткое пояснение:

Для решения задачи будем использовать теорему о свойствах общей касательной к двум касающимся окружностям.

Пошаговое решение:

1. Обозначим центры окружностей: Пусть O₁ — центр окружности большего радиуса (R = 9 см), а O₂ — центр окружности меньшего радиуса (r = 4 см).
2. Расстояние между центрами: Так как окружности касаются внешне, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: O₁O₂ = R + r = 9 см + 4 см = 13 см.
3. Проведем радиусы к точкам касания: O₁A ⊥ AB и O₂B ⊥ AB, так как радиусы, проведенные к точке касания, перпендикулярны касательной.
4. Построим вспомогательную линию: Проведем из точки O₂ прямую, параллельную AB, до пересечения с O₁A в точке C.
5. Получим прямоугольник: Четырехугольник ACO₂B является прямоугольником (так как O₂C || AB, O₁A || O₂B, и углы при A и B прямые). Следовательно, AB = CO₂ и AC = BO₂ = r = 4 см.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник O₁CO₂:
• O₁C = O₁A - AC = R - r = 9 см - 4 см = 5 см.
• O₁O₂ = 13 см (гипотенуза).
7. Применим теорему Пифагора к треугольнику O₁CO₂: O₁C² + CO₂² = O₁O₂².
8. 5² + CO₂² = 13².
9. 25 + CO₂² = 169.
10. CO₂² = 169 - 25.
11. CO₂² = 144.
12. CO₂ = √144 = 12 см.
13. Найдем длину AB: Так как AB = CO₂, то AB = 12 см.

Ответ: 12 см