2. Лучи AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C, ∠BAC = 70° (рис. 2). Найти угол OBC.

Краткое пояснение:

Будем использовать свойства касательных, проведенных из одной точки, и свойства равнобедренного треугольника.

Пошаговое решение:

1. Свойства касательных: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Следовательно, AB = AC.
2. Треугольник ABC: Так как AB = AC, то треугольник ABC — равнобедренный. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, ∠ABC = ∠ACB = (180° - ∠BAC) / 2.
3. Вычисление углов: ∠ABC = ∠ACB = (180° - 70°) / 2 = 110° / 2 = 55°.
4. Радиусы и касательные: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠OBA = 90° и ∠OCA = 90°.
5. Рассмотрим треугольник OAB: ∠OAB = ∠BAC / 2 = 70° / 2 = 35° (по свойству биссектрисы угла между двумя касательными, которая также является биссектрисой центрального угла).
6. Треугольник OAB: В прямоугольном треугольнике OBA (угол OBA = 90°) сумма острых углов равна 90°. Следовательно, ∠AOB + ∠OAB = 90°.
7. Угол OBC: ∠OBA = ∠OBC + ∠ABC. Так как ∠OBA = 90°, то ∠OBC = 90° - ∠ABC.
8. Расчет ∠OBC: ∠OBC = 90° - 55° = 35°.

Ответ: 35°