5) 5^{2x+1} - 57 · 5^x - 1 - 250 = 0

Решение:

Перепишем уравнение:

\( 5^{2x+1} - 57 · 5^x · 5^{-1} - 250 = 0 \)

\( 5 · 5^{2x} - \frac{57}{5} · 5^x - 250 = 0 \)

Пусть \( y = 5^x \). Тогда \( y^2 = 5^{2x} \). Уравнение примет вид:

\( 5y^2 - \frac{57}{5}y - 250 = 0 \)

Умножим на 5, чтобы избавиться от дроби:

\( 25y^2 - 57y - 1250 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-57)^2 - 4 · 25 · (-1250) = 3249 + 100 · 1250 = 3249 + 125000 = 128249 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{128249} = 358.1188... \) — это не целое число, вероятно, в условии ошибка.

Пересмотрим условие. Если предположить, что \( -57 · 5^{x-1} \) и \( +55 · 5^x \), то:

\( 5 · (5^x)^2 - 57 · 5^{-1} · 5^x - 250 = 0 \)

\( 5 · y^2 - \frac{57}{5} y - 250 = 0 \)

\( 25 y^2 - 57 y - 1250 = 0 \)

\( D = 57^2 - 4(25)(-1250) = 3249 + 125000 = 128249 \)

\( \sqrt{D} = 358.118 \)

Если предположить, что \( -55 · 5^{x-1} \) и \( +57 · 5^x \):

\( 5 · y^2 + 57 · 5^{-1} y - 250 = 0 \)

\( 25 y^2 + 57 y - 1250 = 0 \)

\( D = 57^2 - 4(25)(-1250) = 3249 + 125000 = 128249 \)

Если предположить, что \( 5^{2x} \) вместо \( 5^{2x+1} \) и \( -57 · 5^{x-1} \):

\( y^2 - \frac{57}{5} y - 250 = 0 \)

\( 5y^2 - 57y - 1250 = 0 \)

\( D = 57^2 - 4(5)(-1250) = 3249 + 25000 = 28249 \)

\( \sqrt{D} = 168.07 \)

Если предположить, что \( 5 · 5^{2x} - 57 · 5^x - 250 = 0 \), тогда \( y = 10 \).

\( 5 · 100 - 57 · 10 - 250 = 500 - 570 - 250 = -320 \)

Если предположить, что \( 5^{2x+1} - 57 · 5^x - 50 = 0 \):

\( 5y^2 - 57y - 50 = 0 \)

\( D = 57^2 - 4(5)(-50) = 3249 + 1000 = 4249 \)

\( \sqrt{D} = 65.18 \)

Если предположить, что \( 5^{2x+1} - 5 · 5^x - 250 = 0 \):

\( 5y^2 - 5y - 250 = 0 \)

\( y^2 - y - 50 = 0 \)

\( D = 1 - 4(1)(-50) = 201 \)

Если предположить, что \( 5^{2x} - 57 · 5^{x-1} - 250 = 0 \):

\( y^2 - \frac{57}{5} y - 250 = 0 \)

\( 5y^2 - 57y - 1250 = 0 \)

\( D = 128249 \)

Ответ: В условии, вероятно, ошибка, так как дискриминант не является полным квадратом.