5. 1) Сколько решений имеет система линейных уравнений Определи без построения графика. a) {3x – y = 6, 2x + 4y = 4; b) {3x + y = -2, 3x + y = 1; c) {4x + 2y = -6, 2x + y = -3. 2) Реши графически только ту систему, которая имеет одно решение.

Краткое пояснение:

Система линейных уравнений может иметь одно решение (пересекающиеся прямые), бесконечно много решений (совпадающие прямые) или не иметь решений (параллельные прямые).

Пошаговое решение:

1) Анализ количества решений без построения графика:

a) {3x – y = 6, 2x + 4y = 4}

• Найдем коэффициенты: a1 = 3, b1 = -1, c1 = 6; a2 = 2, b2 = 4, c2 = 4.
• Проверим отношение коэффициентов:
  a1/a2 = 3/2
b1/b2 = -1/4
c1/c2 = 6/4 = 3/2
• Так как a1/a2 ≠ b1/b2 (3/2 ≠ -1/4), то прямые пересекаются.
• Вывод: Система имеет одно решение.

b) {3x + y = -2, 3x + y = 1}

• Найдем коэффициенты: a1 = 3, b1 = 1, c1 = -2; a2 = 3, b2 = 1, c2 = 1.
• Проверим отношение коэффициентов:
  a1/a2 = 3/3 = 1
b1/b2 = 1/1 = 1
c1/c2 = -2/1 = -2
• Так как a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 (1 = 1 ≠ -2), то прямые параллельны.
• Вывод: Система не имеет решений.

c) {4x + 2y = -6, 2x + y = -3}

• Найдем коэффициенты: a1 = 4, b1 = 2, c1 = -6; a2 = 2, b2 = 1, c2 = -3.
• Проверим отношение коэффициентов:
  a1/a2 = 4/2 = 2
b1/b2 = 2/1 = 2
c1/c2 = -6/-3 = 2
• Так как a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 (2 = 2 = 2), то прямые совпадают.
• Вывод: Система имеет бесконечно много решений.

2) Графическое решение системы с одним решением:

Система a) имеет одно решение. Решим ее графически.

Система:

• 1) 3x - y = 6 => y = 3x - 6
• 2) 2x + 4y = 4 => 4y = 4 - 2x => y = 1 - 0,5x

Найдем точки для построения графиков:

Для уравнения 1) y = 3x - 6

• Если x = 0, то y = -6. Точка (0; -6).
• Если y = 0, то 0 = 3x - 6 => 3x = 6 => x = 2. Точка (2; 0).

Для уравнения 2) y = 1 - 0,5x

• Если x = 0, то y = 1. Точка (0; 1).
• Если y = 0, то 0 = 1 - 0,5x => 0,5x = 1 => x = 2. Точка (2; 0).

Теперь построим графики этих двух уравнений. Точка пересечения графиков будет решением системы.

Графики пересекаются в точке (2; 0). Значит, решение системы: x = 2, y = 0.

Ответ:

• a) Одно решение.
• b) Нет решений.
• c) Бесконечно много решений.
• Графическое решение системы a): x = 2, y = 0.