45. Прямая a параллельна стороне BC параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что a и CD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: а) 50°; б) 121°.

Так как a ∥ BC, а BC лежит в плоскости параллелограмма, прямая a не лежит в этой плоскости и не пересекает её. Следовательно, a не пересекает CD.

Если бы a и CD были компланарны, то плоскость, содержащая a и CD, содержала бы и прямую BC, параллельную a, а значит, совпадала бы с плоскостью параллелограмма. Это противоречит условию. Поэтому a и CD — скрещивающиеся прямые.

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми. Поэтому угол между a и CD равен меньшему углу между BC и CD.

1. а) При угле параллелограмма 50° угол между BC и CD равен 50°. Значит, угол между a и CD равен 50°.
2. б) При угле параллелограмма 121° смежный с ним угол равен 180° − 121° = 59°. Меньший угол между BC и CD равен 59°. Значит, угол между a и CD равен 59°.

Ответ: а) 50°; б) 59°.