449. Решите неравенство 3 \(\cdot\) 16^x - 12^x - 4 \(\cdot\) 9^x \(\le\) 0.

Решение:

Разделим обе части неравенства на \( 9^x \) (так как \( 9^x > 0 \) для всех \( x \)):

\( 3 \frac{16^x}{9^x} - \frac{12^x}{9^x} - 4 \le 0 \)

Перепишем в виде:

\( 3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{2x} - \left(\frac{4}{3}\right)^x - 4 \le 0 \)

Пусть \( y = \left(\frac{4}{3}\right)^x \). Тогда неравенство примет вид:

\( 3y^2 - y - 4 \le 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( 3y^2 - y - 4 = 0 \):

\( y = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6} = \frac{1 \pm 7}{6} \)

Корни: \( y_1 = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \) и \( y_2 = \frac{1 - 7}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \).

Так как парабола \( 3y^2 - y - 4 \) имеет ветви вверх, неравенство \( 3y^2 - y - 4 \le 0 \) выполняется при \( -1 \le y \le \frac{4}{3} \).

Подставим обратно \( y = \left(\frac{4}{3}\right)^x \):

\( -1 \le \left(\frac{4}{3}\right)^x \le \frac{4}{3} \)

Так как \( \left(\frac{4}{3}\right)^x \) всегда больше 0, первое неравенство \( -1 \le \left(\frac{4}{3}\right)^x \) выполняется для всех \( x \).

Рассмотрим второе неравенство:

\( \left(\frac{4}{3}\right)^x \le \frac{4}{3} \)

Так как \( \frac{4}{3} = \left(\frac{4}{3}\right)^1 \), имеем:

\( \left(\frac{4}{3}\right)^x \le \left(\frac{4}{3}\right)^1 \)

Поскольку основание \( \frac{4}{3} > 1 \), показатель степени \( x \) должен быть меньше или равен:

\( x \le 1 \)

Таким образом, решением неравенства является \( x \le 1 \).

Ответ: \( x \le 1 \).