446. Решите неравенство 25^x - 5 \(\cdot\) 10^x - 6 \(\cdot\) 4^x \(\le\) 0.

Решение:

Разделим обе части неравенства на \( 4^x \) (так как \( 4^x > 0 \) для всех \( x \)):

\( \frac{25^x}{4^x} - 5 \frac{10^x}{4^x} - 6 \le 0 \)

Перепишем в виде:

\( \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x - 6 \le 0 \)

Пусть \( y = \left(\frac{5}{2}\right)^x \). Тогда неравенство примет вид:

\( y^2 - 5y - 6 \le 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( y^2 - 5y - 6 = 0 \):

\( y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} \)

Корни: \( y_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \) и \( y_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1 \).

Таким образом, \( -1 \le y \le 6 \).

Подставим обратно \( y = \left(\frac{5}{2}\right)^x \):

\( -1 \le \left(\frac{5}{2}\right)^x \le 6 \)

Так как \( \left(\frac{5}{2}\right)^x \) всегда больше 0, первое неравенство \( -1 \le \left(\frac{5}{2}\right)^x \) выполняется для всех \( x \).

Рассмотрим второе неравенство:

\( \left(\frac{5}{2}\right)^x \le 6 \)

Прологарифмируем обе части по основанию \( \frac{5}{2} \) (так как \( \frac{5}{2} > 1 \), знак неравенства не меняется):

\( x \le \log_{\frac{5}{2}} 6 \)

Таким образом, решением неравенства является \( x \le \log_{\frac{5}{2}} 6 \).

Ответ: \( x \le \log_{\frac{5}{2}} 6 \).