447. Решите неравенство 16^x – 12^x – 2 \(\cdot\) 9^x \(\le\) 0.

Решение:

Разделим обе части неравенства на \( 9^x \) (так как \( 9^x > 0 \) для всех \( x \)):

\( \frac{16^x}{9^x} - \frac{12^x}{9^x} - 2 \le 0 \)

Перепишем в виде:

\( \left(\frac{4}{3}\right)^{2x} - \left(\frac{4}{3}\right)^x - 2 \le 0 \)

Пусть \( y = \left(\frac{4}{3}\right)^x \). Тогда неравенство примет вид:

\( y^2 - y - 2 \le 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( y^2 - y - 2 = 0 \):

\( y = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \)

Корни: \( y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) и \( y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \).

Таким образом, \( -1 \le y \le 2 \).

Подставим обратно \( y = \left(\frac{4}{3}\right)^x \):

\( -1 \le \left(\frac{4}{3}\right)^x \le 2 \)

Так как \( \left(\frac{4}{3}\right)^x \) всегда больше 0, первое неравенство \( -1 \le \left(\frac{4}{3}\right)^x \) выполняется для всех \( x \).

Рассмотрим второе неравенство:

\( \left(\frac{4}{3}\right)^x \le 2 \)

Прологарифмируем обе части по основанию \( \frac{4}{3} \) (так как \( \frac{4}{3} > 1 \), знак неравенства не меняется):

\( x \le \log_{\frac{4}{3}} 2 \)

Таким образом, решением неравенства является \( x \le \log_{\frac{4}{3}} 2 \).

Ответ: \( x \le \log_{\frac{4}{3}} 2 \).