412. Вершины A и B квадрата ABCD лежат на окружности с центром в точке O, причём эта точка является серединой стороны CD. Найдите площадь квадрата, если радиус окружности равен: a) 10; б) 9; в) \( \sqrt{3} \); г) \( 4\sqrt{5} \).

Решение:

Пусть сторона квадрата равна \( a \). Тогда \( CD = a \). Так как O — середина CD, то \( CO = OD = \frac{a}{2} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle COA \). Гипотенуза \( OA \) — радиус описанной окружности, \( OA = R \). Катеты: \( CO = \frac{a}{2} \) и \( OA \) (одна из сторон квадрата, равная \( a \)).

По теореме Пифагора: \( OA^2 = CO^2 + a^2 \).

Подставим значения: \( R^2 = (\frac{a}{2})^2 + a^2 \Rightarrow R^2 = \frac{a^2}{4} + a^2 = \frac{5a^2}{4} \).

Площадь квадрата \( S = a^2 \). Отсюда \( a^2 = \frac{4R^2}{5} \).

а) R = 10

1. Площадь \( S = \frac{4 \cdot 10^2}{5} = \frac{4 \cdot 100}{5} = \frac{400}{5} = 80 \).

б) R = 9

1. Площадь \( S = \frac{4 \cdot 9^2}{5} = \frac{4 \cdot 81}{5} = \frac{324}{5} = 64.8 \).

в) R = \( \sqrt{3} \)

1. Площадь \( S = \frac{4 \cdot (\sqrt{3})^2}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \).

г) R = \( 4\sqrt{5} \)

1. Площадь \( S = \frac{4 \cdot (4\sqrt{5})^2}{5} = \frac{4 \cdot (16 \cdot 5)}{5} = \frac{4 \cdot 80}{5} = \frac{320}{5} = 64 \).

Ответ: а) 80; б) 64.8; в) 2.4; г) 64.