412. К концам однородного стержня длиной 1 м приложены вертикальные силы 20 и 80 Н. Точка опоры стержня расположена так, что стержень горизонтален. Определите длины плеч. Стержень считать невесомым.

Решение:

Для равновесия стержня сумма моментов сил относительно точки опоры должна быть равна нулю.

Пусть \( l_1 \) — плечо силы \( F_1 = 20 \) Н, а \( l_2 \) — плечо силы \( F_2 = 80 \) Н.

Общая длина стержня \( L = 1 \) м. Таким образом, \( l_1 + l_2 = L = 1 \) м.

Условие равновесия: \( F_1 · l_1 = F_2 · l_2 \)

\[ 20 · l_1 = 80 · l_2 \]

Разделим обе части на 20: \( l_1 = 4 · l_2 \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ (4 · l_2) + l_2 = 1 \]

\[ 5 · l_2 = 1 \]

\[ l_2 = \(\frac{1}{5}\) = 0.2 \) м.

Теперь найдём \( l_1 \):

\[ l_1 = 4 · l_2 = 4 · 0.2 = 0.8 \) м.

Проверка: \( 0.8 + 0.2 = 1 \) м.

Моменты сил: \( 20 · 0.8 = 16 \) Н·м; \( 80 · 0.2 = 16 \) Н·м. Моменты равны.

Ответ: Длины плеч равны 0.8 м и 0.2 м.