40. Высота и боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 3 см и 5 см. Найдите объём пирамиды.

Решение:

Объём правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \]

где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота.

Нам дана высота \( h = 3 \) см.

Чтобы найти площадь основания, нам нужно сначала найти сторону основания \( a \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. Это не тот треугольник. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром.

Диагональ основания \( d \) связана с боковым ребром \( l \) и высотой \( h \) соотношением:

\[ l^2 = h^2 + (\frac{d}{2})^2 \]

Нам дано \( l = 5 \) см и \( h = 3 \) см.

\[ 5^2 = 3^2 + (\frac{d}{2})^2 \]

\[ 25 = 9 + (\frac{d}{2})^2 \]

\[ (\frac{d}{2})^2 = 25 - 9 = 16 \]

\[ \frac{d}{2} = \sqrt{16} = 4 \]

Значит, диагональ основания \( d = 2 \times 4 = 8 \) см.

Теперь найдем сторону основания \( a \). Для квадрата диагональ связана со стороной соотношением \( d = a\sqrt{2} \).

\[ 8 = a\sqrt{2} \]

\[ a = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \]

Площадь основания \( S_{осн} = a^2 \):

\[ S_{осн} = \(4\sqrt{2}\)^2 = 16 \(\times\) 2 = 32 \) см².

Теперь можем найти объём пирамиды:

\[ V = \(\frac{1}{3}\) \(\cdot\) 32 \(\cdot\) 3 = 32 \) см³.

Ответ: 32 см³