4. y = 2x+1 / x^2-9

Решение:

Данная функция является дробно-рациональной. Для исследования функции необходимо найти:

• Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю.
• \[ x^2 - 9
  eq 0 \]
• \[ x^2
  eq 9 \]
• \[ x
  eq \pm 3 \]
• Нули функции: Числитель не должен быть равен нулю.
• \[ 2x + 1 = 0 \]
• \[ 2x = -1 \]
• \[ x = -0.5 \]
• Точка пересечения с осью OY: Подставить x=0 в уравнение функции.
• \[ y = \frac{2(0)+1}{0^2-9} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9} \]
• Асимптоты:
• Вертикальные асимптоты: x = 3 и x = -3 (значения, при которых знаменатель равен нулю).
• Горизонтальная асимптота: y = 0 (так как степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2)).

Ответ: Область определения: \( (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty) \). Нули функции: \( x = -0.5 \). Точка пересечения с OY: \( (0, -1/9) \). Вертикальные асимптоты: \( x = \pm 3 \). Горизонтальная асимптота: \( y = 0 \).