3. y = x^2-4 / x

Решение:

Данная функция является дробно-рациональной. Для исследования функции необходимо найти:

• Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю.
• \[ x
  eq 0 \]
• Нули функции: Числитель не должен быть равен нулю.
• \[ x^2 - 4 = 0 \]
• \[ x^2 = 4 \]
• \[ x = \pm 2 \]
• Точка пересечения с осью OY: Подставить x=0 в уравнение функции. В данном случае x=0 не входит в область определения, поэтому функция не пересекает ось OY.
• Асимптоты:
• Вертикальная асимптота: x = 0 (значение, при котором знаменатель равен нулю).
• Наклонная асимптота: Так как степень числителя на 1 больше степени знаменателя, существует наклонная асимптота. Разделим числитель на знаменатель:
• \[ y = \frac{x^2 - 4}{x} = x - \frac{4}{x} \]
• Наклонная асимптота: y = x.

Ответ: Область определения: \( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \). Нули функции: \( x = \pm 2 \). Функция не пересекает ось OY. Вертикальная асимптота: \( x = 0 \). Наклонная асимптота: \( y = x \).