4) Вычислите радиус вписанной окружности в равнобедренную трапецию с основанием 12 см и периметром 32 см.

Решение:

Пусть основания трапеции равны \( a \) и \( b \), боковая сторона — \( c \). Периметр \( P = a + b + 2c \). В равнобедренной трапеции можно вписать окружность, если \( a + b = 2c \).

Дано: \( a = 12 \text{ см} \), \( P = 32 \text{ см} \).

\( 32 = 12 + b + 2c \) → \( b + 2c = 20 \).

Так как \( a + b = 2c \), то \( 12 + b = 2c \).

Подставляем \( 2c = 12 + b \) во второе уравнение:

\( b + (12 + b) = 20 \) → \( 2b = 8 \) → \( b = 4 \text{ см} \).

Теперь найдем \( c \): \( 2c = 12 + 4 = 16 \) → \( c = 8 \text{ см} \).

Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты. Высота \( h \) равнобедренной трапеции находится из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и разностью полусумм оснований: \( h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{|a-b|}{2}\right)^2} \).

\( h = \sqrt{8^2 - \left(\frac{|12-4|}{2}\right)^2} = \sqrt{64 - \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{64 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см} \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{h}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ см} \).

Ответ: \( 2\sqrt{3} \text{ см} \).