4. В тупоугольном равнобедренном треугольнике один из углов в четыре раза больше другого. Медиана треугольника, проведенная к основанию, равна 6 см. Найдите боковую сторону.

Решение:

В тупоугольном равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине. Углы при основании острые.

Пусть углы при основании равны \( x \). Тогда угол при вершине равен \( 4x \).

Сумма углов треугольника равна 180°:

\( x + x + 4x = 180^{\circ} \)

\( 6x = 180^{\circ} \)

\( x = 30^{\circ} \)

Значит, углы при основании равны 30°, а угол при вершине равен \( 4 \times 30^{\circ} = 120^{\circ} \). Это тупоугольный равнобедренный треугольник.

Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой, половиной основания и боковой стороной. Углы этого треугольника: 90°, 30° (половина угла при вершине \( 120^{\circ} / 2 \)) и 60° (половина угла при основании \( 30^{\circ} / 2 \) — нет, это угол при основании, который равен 30°. Значит, углы прямоугольного треугольника 90°, 30° и 180° - 90° - 30° = 60°.

Медиана (высота) равна 6 см. Это катет, лежащий против угла 30°.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Пусть боковая сторона (гипотенуза) равна \( c \). Тогда медиана (катет) равна \( \frac{c}{2} \).

\( 6 = \frac{c}{2} \)

\( c = 12 \) см.

Ответ: Боковая сторона равна 12 см.