4. В тупоугольном равнобедренном треугольнике один из углов в четыре раза больше другого. Медиана треугольника, проведенная к основанию, равна 6 см. Найдите боковую сторону.

Решение:

Пусть дан тупоугольный равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Углы при основании равны: \( ∠A = ∠B \). Угол при вершине — \( ∠C \). Так как треугольник тупоугольный, один из углов должен быть больше 90°.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, тупым может быть только угол при вершине.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Угол при вершине в 4 раза больше угла при основании.

Пусть \( ∠A = ∠B = x \). Тогда \( ∠C = 4x \).

Сумма углов: \( x + x + 4x = 180^\circ \) \( 6x = 180^\circ \) \( x = 30^\circ \).

Углы: \( ∠A = ∠B = 30^\circ \), \( ∠C = 4 × 30^\circ = 120^\circ \). Этот случай подходит, так как есть тупой угол (120°).

Случай 2: Угол при основании в 4 раза больше угла при вершине.

Пусть \( ∠C = y \). Тогда \( ∠A = ∠B = 4y \).

Сумма углов: \( 4y + 4y + y = 180^\circ \) \( 9y = 180^\circ \) \( y = 20^\circ \).

Углы: \( ∠C = 20^\circ \), \( ∠A = ∠B = 4 × 20^\circ = 80^\circ \). Все углы острые, значит, этот случай не подходит (треугольник остроугольный).

Итак, углы треугольника: \( 30^\circ, 30^\circ, 120^\circ \).

Медиана, проведённая к основанию, в равнобедренном треугольнике является также высотой. Пусть CM — медиана, проведённая к основанию AB. Тогда \( CM ⊥ AB \) и \( AM = MB \). Длина медианы \( CM = 6 \text{ см} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. Угол \( ∠A = 30^\circ \), \( ∠AMC = 90^\circ \). Боковая сторона AC является гипотенузой.

Используем определение тангенса:

\( \tan(∠A) = \frac{CM}{AM} \)

\( \tan(30^\circ) = \frac{6}{AM} \)

\( \frac{1}{√3} = \frac{6}{AM} \)

\( AM = 6√3 \text{ см} \).

Теперь найдём боковую сторону AC (гипотенузу) в прямоугольном треугольнике AMC, используя определение синуса:

\( \tan(∠A) = \frac{CM}{AC} \)

\( \tan(30^\circ) = \frac{6}{AC} \)

\( \frac{1}{√3} = \frac{6}{AC} \)

\( AC = 6√3 \text{ см} \).

Ответ: Боковая сторона треугольника равна 6√3 см.