4. В треугольнике АВС угол C равен 90°, стороны АС и ВС равны. На стороне АВ отметили точку Р так, что угол АСР равен 18°. Найдите градусную меру угла АРС.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Так как \( \angle C = 90° \) и \( AC = BC \), то треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный. Следовательно, углы при основании AB равны:
   \( \angle CAB = \angle CBA = \frac{180° - 90°}{2} = \frac{90°}{2} = 45° \)
2. Рассмотрим треугольник APC. Угол APC является внешним для треугольника BPC.
   Сумма углов треугольника BPC равна 180°:
   \( \angle PBC + \angle BCP + \angle BPC = 180° \)
3. Нам известно \( \angle PBC = \angle CBA = 45° \).
   \( \angle BCP = \angle ACB - \angle ACP = 90° - 18° = 72° \)
4. Найдем \( \angle BPC \):
   \( 45° + 72° + \angle BPC = 180° \)
   \( 117° + \angle BPC = 180° \)
   \( \angle BPC = 180° - 117° = 63° \)
5. Углы APC и BPC — смежные, их сумма равна 180°:
   \( \angle APC + \angle BPC = 180° \)
   \( \angle APC + 63° = 180° \)
   \( \angle APC = 180° - 63° = 117° \)

Ответ: 117°