4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosA = 3/4, катет СА равен 6 см. Найдите катет CB.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) угол \( C = 90° \).

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

\( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CA}{AB} \)

Нам дано, что \( \cos A = \frac{3}{4} \) и \( CA = 6 \) см.

Подставим известные значения в формулу:

\( \frac{3}{4} = \frac{6}{AB} \)

Чтобы найти \( AB \), решим пропорцию:

\( AB = 6 \cdot \frac{4}{3} \)
\( AB = \frac{24}{3} \)
\( AB = 8 \) см

Теперь, зная гипотенузу \( AB \) и один катет \( CA \), найдем второй катет \( CB \) по теореме Пифагора: \( AB^2 = CA^2 + CB^2 \).

\( 8^2 = 6^2 + CB^2 \)
\( 64 = 36 + CB^2 \)
\( CB^2 = 64 - 36 \)
\( CB^2 = 28 \)
\( CB = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \) см

Ответ: Катет CB равен \( 2\sqrt{7} \) см.