№4. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К – середина ребра АА1. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости AB1D1, если площадь треугольника AB1D1 равна 48 см².

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Определение плоскости сечения: Плоскость проходит через точку К (середина AA1) и параллельна плоскости AB1D1.
2. Подобие треугольников: Рассмотрим треугольник AA1B1. Точка К — середина AA1. Плоскость сечения параллельна плоскости AB1D1. Следовательно, линия пересечения этой плоскости с гранью A1B1C1D1 будет параллельна B1D1. Аналогично, линия пересечения с гранью ABB1A1 будет параллельна AB1.
3. Коэффициент подобия: Точка К делит ребро AA1 пополам. Так как K — середина AA1, то расстояние от вершины A до плоскости сечения равно половине расстояния от A до плоскости AB1D1 (если бы плоскость проходила через A). В данном случае, точка K находится на высоте, равной половине высоты параллелепипеда. Если принять высоту параллелепипеда за $$h$$, то точка K находится на высоте $$h/2$$ от основания. Треугольник, образующий сечение, будет подобен треугольнику AB1D1 с коэффициентом подобия, равным отношению высот или соответствующих линейных размеров. Так как K — середина AA1, то коэффициент подобия будет 1/2.
4. Расчет площади сечения: Площадь сечения (S_сеч) будет равна площади треугольника AB1D1 (S_AB1D1), умноженной на квадрат коэффициента подобия (k²).
   $$S_{сеч} = S_{AB1D1} \cdot k^2$$
   $$S_{сеч} = 48 \text{ см}^2 \cdot (1/2)^2$$
   $$S_{сеч} = 48 \text{ см}^2 \cdot (1/4)$$
   $$S_{сеч} = 12 \text{ см}^2$$.

Ответ: 12 см²